KOMPLEXNÁ ANALÝZA PRE INFORMATIKOV

Zimný semester 2023/24

Rozvrh:

Pondelok, 9:50 – 12:05, akvárium M-VIII (prednáška)

Streda, 9:50 – 11:20, akvárium M-II (cvičenia)

Kontakt:

Peter Kostolányi

e-mail: kostolanyi zavináč fmph a tak ďalej

miestnosť: M-227

Skriptá:

Počas semestra bude postupne pribúdať predbežná verzia skrípt k predmetu.

Predbežná verzia skrípt na stiahnutie.

Domáce úlohy:

V priebehu semestra budú zverejnené dve sady domácich úloh. Z každej sady je potrebné najneskôr do skúšky správne vyriešiť päť úloh.

Prednášky a cvičenia:

Prednáška č. 1: Komplexné čísla a komplexná rovina (18. septembra 2023)

Komplexné čísla a ich aritmetika. Základy topológie komplexnej roviny. Rozšírená komplexná rovina a Riemannova sféra.
Skriptá: oddiely 1.1 až 1.6.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 1 a oddiely 2.7 až 2.9 a 3.1 až 3.10).

Cvičenia č. 1: Súvislé množiny, limita a spojitosť (20. septembra 2023)

Pokračovanie prednášky: súvislé množiny a oblasti. Komplexné funkcie komplexnej premennej. Limita a spojitosť.
Skriptá: oddiely 1.7, 2.1 a 2.2.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 3.12 až 3.25; v definícii 3.12 chýba predpoklad otvorenosti množiny G).

Prednáška č. 2: Holomorfné funkcie (25. septembra 2023)

Derivácia a diferencovateľnosť funkcie komplexnej premennej. Cauchyho-Riemannove podmienky. Holomorfné funkcie. Elementárne vlastnosti holomorfných a diferencovateľných funkcií.
Skriptá: oddiely 2.3 až 2.5.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 5).

Cvičenia č. 2 (27. septembra 2023)

Vizualizácia funkcií komplexnej premennej.
Vybrané úlohy z prvej a druhej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 3: Analytické funkcie (2. októbra 2023)

Nekonečné rady komplexných čísel. Mocninové rady, veta o polomere konvergencie. Analytické funkcie a veta o ich deriváciách.
Skriptá: oddiely 3.1 až 3.4.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 6).

Cvičenia č. 3 (4. októbra 2023)

Odpadli.

Prednáška č. 4: Integrovanie funkcií komplexnej premennej (9. októbra 2023)

Exponenciálna funkcia a goniometrické funkcie. Argument ako viachodnotová funkcia, prirodzený logaritmus a jeho holomorfné vetvy. Komplexné funkcie reálnej premennej. Parametrické krivky. Krivkové integrály a ich elementárne vlastnosti.
Skriptá: oddiel 3.5, časť oddielu 3.6 a oddiely 4.1 až 4.4.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 7, kapitola 4 a oddiely 10.1 až 10.7).

Cvičenia č. 4: Mocninové funkcie, veta o odhade (11. októbra 2023)

Racionálne, reálne a komplexné mocniny ako viachodnotové funkcie. Veta o odhade.
Skriptá: zvyšok oddielu 3.6 a oddiel 4.5.
Vybrané úlohy z tretej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 5: Cauchyho integrálna veta (16. októbra 2023)

Základná veta o krivkových integráloch. Cauchyho integrálna veta pre trojuholník a konvexnú oblasť. Homotópie prostredníctvom elementárnych deformácií. Veta o deformácii. Cauchyho integrálna veta (pre jednoducho súvislú oblasť).
Skriptá: oddiel 4.6, oddiely 5.1, 5.2, 5.4 a 5.6, vybrané časti oddielov 5.3 a 5.5.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 10.8 a 10.9 a kapitoly 11 a 12).

Cvičenia č. 5: Homotópie (18. októbra 2023)

Homotópie. Jordanova a Jordanova-Schoenfliesova veta (bez dôkazu).
Skriptá: oddiely 5.3 a 5.7.

Prednáška č. 6: Cauchyho integrálny vzorec (23. októbra 2023)

Tvrdenie o deformácii kladne orientovanej jednoduchej uzavretej krivky na kružnicu v jej vnútri. Cauchyho integrálny vzorec. Liouvillova veta. Základná veta algebry. Cauchyho vzorce pre derivácie. Morerova veta. Základné poznatky o rovnomernej a lokálne rovnomernej konvergencii.
Skriptá: oddiel 5.8, kapitola 6 a začiatok oddielu 7.1 (po Weierstrassovo kritérium).
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 13 a oddiely 14.12 až 14.17).

Cvičenia č. 6 (25. októbra 2023)

Dokončenie pondelňajšej prednášky: ďalšie vlastnosti rovnomernej a lokálne rovnomernej konvergencie, veta o Taylorových radoch, ekvivalencia holomorfnosti s analytickosťou.
Skriptá: zvyšok oddielu 7.1 a oddiely 7.2 a 7.3.
Úlohy zo šiestej a siedmej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 7: Veta o jednoznačnosti, Laurentove rady, izolované singularity jednohodnotových funkcií (30. októbra 2023)

Korene holomorfných funkcií. Veta o jednoznačnosti. Laurentove rady. Izolované singularity jednohodnotových funkcií a ich klasifikácia. Riemannova veta o odstrániteľných singularitách.
Skriptá: oddiely 8.1, 8.2, 9.1, 9.2 a 9.3.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 15 a 17).

Cvičenia č. 7 (1. novembra 2023)

Odpadli.

Prednáška č. 8: Index bodu vzhľadom ku krivke (6. novembra 2023)

Póly. Meromorfné funkcie. Index bodu vzhľadom ku krivke a jeho súvis so spojitým výberom argumentu. Zámena integrálov v reálnej analýze.
Skriptá: oddiely 9.4, 9.5 a 10.1 až 10.4.
Ďalšie odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 11.12 až 11.13 a 12.8 až 12.11).

Cvičenia č. 8 (8. novembra 2023)

Vybrané úlohy z deviatej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 9: Všeobecné verzie Cauchyho integrálneho vzorca a Cauchyho integrálnej vety (13. novembra 2023)

Reťaze a cykly. Všeobecný Cauchyho integrálny vzorec. Všeobecná Cauchyho integrálna veta. Všeobecná veta o deformácii.
Skriptá: oddiely 10.5 až 10.7.
Odporúčané čítanie: Rudin, W.: Real and Complex Analysis 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1986 (väčšina kapitoly 10).
Ďalšie odporúčané čítanie: Ullrich, D. C.: Complex Made Simple. Providence: American Mathematical Society, 2008 (kapitola 4).

Cvičenia č. 9 (15. novembra 2023)

Vybrané úlohy na vlastnosti funkcií v nekonečne.

Prednáška č. 10: Rezíduá (20. novembra 2023)

Cauchyho veta o rezíduách. Cauchyho princíp argumentu.
Skriptá: oddiely 11.1 a 11.2.
Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 18 a oddiel 15.13).

Cvičenia č. 10 (22. novembra 2023)

Vybrané úlohy na Cauchyho vetu o rezíduách a kompaktnosť. Ekvivalentné charakterizácie jednoducho súvislých oblastí.

Prednáška č. 11: Analytické predĺženie (27. novembra 2023)

Analytické prvky a ich analytické predĺženia. Globálne analytické funkcie a ich vetvy. Analytické predĺženia pozdĺž kriviek a ich elementárne vlastnosti. Jednohodnotové globálne analytické funkcie.
Skriptá: oddiely 12.1 až 12.5.
Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiely 39 a 40).

Cvičenia č. 11: Veta o monodrómii (29. novembra 2023)

Dokončenie pondelňajšej prednášky: veta o monodrómii.
Skriptá: oddiely 12.6 a 12.7.
Vybrané úlohy z dvanástej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 12: Singularity (4. decembra 2023)

Singularity analytických prvkov a vetiev globálnych analytických funkcií. Singularity na kružnici konvergencie Taylorovho radu. Klasifikácia singularít a bodov vetvenia.
Skriptá: oddiely 13.1 až 13.3 a prvá časť oddielu 13.4 (po príklad 13.4.5).
Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiel 42).

Cvičenia č. 12: Puiseuxove rady a definícia funkcie gama (6. decembra 2023)

Dokončenie pondelňajšej prednášky: veta o Puiseuxových radoch.
Nová látka: definícia funkcie gama a jej korektnosť; rekurentný vzťah pre funkciu gama a jej súvis s faktoriálom.
Skriptá: zvyšok oddielu 13.4; oddiely 14.1 a 14.2.
Vybrané úlohy z trinástej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 13: Funkcia gama I (11. decembra 2023)

Rozšírenie definičného oboru funkcie gama, jej analytickosť a hodnoty vo vybraných bodoch. Reprezentácia funkcie gama pomocou limity.
Skriptá: oddiely 14.3 až 14.5.
Odporúčané čítanie: Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2. New York: John Wiley & Sons, 1977 (oddiel 8.4).
Odporúčané čítanie: Artin, E.: The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1964.

Cvičenia č. 13: Funkcia gama II (13. decembra 2023)

Pokračovanie prednášky: Bohrova-Mollerupova veta. Stirlingove aproximácie pre reálnu funkciu gama a pre faktoriál.
Skriptá: oddiely 14.6 a 14.7.