KOMPLEXNÁ ANALÝZA PRE INFORMATIKOV

Zimný semester 2025/26

Rozvrh:

Pondelok, 11:30 – 13:45, akvárium M-VIII (prednáška)

Štvrtok, 14:00 – 15:30, akvárium M-IX (cvičenia)

Prednáška plánovaná na pondelok 8. decembra sa po dohode prekladá. Náhradná prednáška bude v piatok 12. decembra 2025 o 9:50 v akváriu M-V.

Kontakt:

Peter Kostolányi

e-mail: kostolanyi zavináč fmph a tak ďalej

miestnosť: M-227

Skriptá:

• Predbežná verzia skrípt na stiahnutie.

Domáce úlohy:

V priebehu semestra budú zverejnené dve sady domácich úloh. Z každej sady je potrebné najneskôr do skúšky správne vyriešiť päť úloh.

• Úlohy prvej sady.

Prednášky a cvičenia:

Prednáška č. 1: Komplexné čísla a komplexná rovina (22. septembra 2025)

• Komplexné čísla a ich aritmetika. Základy topológie komplexnej roviny. Rozšírená komplexná rovina a Riemannova sféra. Súvislé množiny a oblasti.
• Skriptá: kapitola 1.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 1 a oddiely 2.7 až 2.9 a 3.1 až 3.14; v definícii 3.12 chýba predpoklad otvorenosti množiny G).

Cvičenia č. 1: Limita a spojitosť (25. septembra 2025)

• Vybrané úlohy z prvej kapitoly skrípt.
• Limita a spojitosť.
• Skriptá: oddiely 2.1 a 2.2.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 3.15 až 3.25).

Prednáška č. 2: Holomorfné funkcie (29. septembra 2025)

• Derivácia a diferencovateľnosť funkcie komplexnej premennej. Cauchyho-Riemannove podmienky. Holomorfné funkcie. Elementárne vlastnosti holomorfných a diferencovateľných funkcií. Nekonečné rady komplexných čísel.
• Skriptá: oddiely 2.3 až 3.1.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 5 a oddiel 6.1).

Cvičenia č. 2 (2. októbra 2025)

• Vybrané úlohy z druhej a tretej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 3: Analytické funkcie (6. októbra 2025)

• Mocninové rady, veta o polomere konvergencie. Analytické funkcie a veta o ich deriváciách. Exponenciálna funkcia a goniometrické funkcie. Argument ako viachodnotová funkcia.
• Skriptá: oddiely 3.1 až 3.5 a začiatok oddielu 3.6.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 6 a oddiely 7.1 až 7.13).

Cvičenia č. 3: Prirodzené logaritmy a mocninové funkcie (9. októbra 2025)

• Vizualizácia funkcií komplexnej premennej.
• Vybrané úlohy z tretej kapitoly skrípt.
• Skriptá: zvyšok oddielu 3.6.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 7.14 až 7.17).

Prednáška č. 4: Integrovanie funkcií komplexnej premennej (13. októbra 2025)

• Komplexné funkcie reálnej premennej. Parametrické krivky. Krivkové integrály a ich elementárne vlastnosti. Veta o odhade. Základná veta o krivkových integráloch.
• Skriptá: oddiely 4.1 až 4.5 a začiatok oddielu 4.6 (po vetu 4.6.2).
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 10).

Cvičenia č. 4: Homotópie (16. októbra 2025)

• Vybrané úlohy zo štvrtej kapitoly skrípt.
• Skriptá: oddiel 5.3.

Prednáška č. 5: Cauchyho integrálna veta a Cauchyho integrálny vzorec (20. októbra 2025)

• Cauchyho integrálna veta pre trojuholník a konvexnú oblasť. Veta o deformácii. Cauchyho integrálna veta pre jednoducho súvislú oblasť. Cauchyho integrálny vzorec.
• Skriptá: zvyšok oddielu 4.6, oddiely 5.1, 5.2, 5.4 a 5.6, vybrané časti oddielu 5.5, časť oddielu 6.1 (po vetu 6.1.2).
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 11 a 12, oddiel 13.1).

Cvičenia č. 5: Jordanova a Jordanova-Schoenfliesova veta (23. októbra 2025)

• Vybrané úlohy z piatej kapitoly skrípt. Úloha 1.4.
• Charakterizácie jednoducho súvislých oblastí. Jordanova a Jordanova-Schoenfliesova veta (bez dôkazu). Tretí variant Cauchyho integrálneho vzorca.
• Skriptá: oddiely 5.5 a 5.7, zvyšok oddielu 6.1.

Prednáška č. 6: Aplikácie Cauchyho integrálneho vzorca a Taylorove rady (27. októbra 2025)

• Liouvillova veta. Základná veta algebry. Cauchyho vzorce pre derivácie. Morerova veta. Rovnomerná a lokálne rovnomerná konvergencia postupností a radov funkcií. Veta o Taylorových radoch, ekvivalencia holomorfnosti s analytickosťou.
• Skriptá: oddiely 6.2 až 6.4, kapitola 7.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 13.3 až 13.11, kapitola 14).

Cvičenia č. 6 (30. októbra 2025)

• Vybrané úlohy zo šiestej a siedmej kapitoly skrípt.

Prednáška č. 7: Veta o jednoznačnosti, Laurentove rady, izolované singularity jednohodnotových funkcií (3. novembra 2025)

• Korene holomorfných funkcií. Veta o jednoznačnosti. Laurentove rady. Izolované singularity jednohodnotových funkcií a ich klasifikácia. Riemannova veta o odstrániteľných singularitách. Póly.
• Skriptá: oddiely 8.1, 8.2 a 9.1 až 9.4.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 15 a 17).

Cvičenia č. 7: Index bodu vzhľadom ku krivke (6. novembra 2025)

• Vybrané úlohy z deviatej kapitoly skrípt.
• Index bodu vzhľadom ku krivke a jeho súvis so spojitým výberom argumentu.
• Skriptá: oddiely 10.1 až 10.3.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 11.12 až 11.13 a 12.8 až 12.11).

Prednáška č. 8: Všeobecné verzie Cauchyho integrálneho vzorca a Cauchyho integrálnej vety (10. novembra 2025)

• Tvrdenia o zámene integrálov. Reťaze a cykly. Všeobecný Cauchyho integrálny vzorec. Všeobecná Cauchyho integrálna veta. Všeobecná veta o deformácii.
• Skriptá: oddiely 10.4 až 10.7.
• Odporúčané čítanie: Rudin, W.: Real and Complex Analysis 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1986 (väčšina kapitoly 10).
• Ďalšie odporúčané čítanie: Ullrich, D. C.: Complex Made Simple. Providence: American Mathematical Society, 2008 (kapitola 4).

Cvičenia č. 8: Meromorfné funkcie (13. novembra 2025)

• Vybrané úlohy z deviatej kapitoly skrípt.
• Meromorfné funkcie.
• Skriptá: oddiel 9.5.

Prednáška č. 9 (17. novembra 2025)

• Voľno.

Cvičenia č. 9: Princíp maxima modulu (20. novembra 2025)

• Úloha na funkcie meromorfné na rozšírenej komplexnej rovine.
• Princíp maxima modulu.
• Skriptá: oddiel 8.3.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 16.1 a 16.2).

Prednáška č. 10: Rezíduá (24. novembra 2025)

• Cauchyho veta o rezíduách. Cauchyho princíp argumentu.
• Skriptá: oddiely 11.1 a 11.2.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 18 a oddiel 15.13).

Cvičenia č. 10: Rouchého veta (27. novembra 2025)

• Vybrané úlohy z jedenástej kapitoly skrípt.
• Rouchého veta.
• Skriptá: oddiel 11.3.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 15.14 a 15.15).

Prednáška č. 11: Analytické predĺženie (1. decembra 2025)

• Analytické prvky a ich analytické predĺženia. Globálne analytické funkcie a ich vetvy. Analytické predĺženia pozdĺž kriviek a ich elementárne vlastnosti. Jednohodnotové globálne analytické funkcie.
• Skriptá: oddiely 12.1 až 12.5.
• Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiely 39 a 40).

Cvičenia č. 11: Veta o monodrómii a singularity (4. decembra 2025)

• Veta o monodrómii. Singularity analytických prvkov a vetiev globálnych analytických funkcií. Singularity na kružnici konvergencie Taylorovho radu.
• Skriptá: oddiely 12.6, 12.7, 13.1 a 13.2.
• Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiel 42).

Cvičenia č. 12: Klasifikácia singularít (11. decembra 2025)

• Klasifikácia singularít. Body vetvenia.
• Skriptá: oddiel 13.3 a začiatok oddielu 13.4.

Prednáška č. 12: Puiseuxove rady a definícia funkcie gama (12. decembra 2025)

• Klasifikácia bodov vetvenia. Veta o Puiseuxových radoch. Definícia funkcie gama a jej korektnosť; rekurentný vzťah pre funkciu gama a jej súvis s faktoriálom.
• Úlohy na singularity a Puiseuxove rady.
• Skriptá: zvyšok oddielu 13.4; oddiely 14.1 a 14.2.