Čo sa preberalo na cvičení
06.05.2009
I) a) Nájdite Taylorov rozvoj polynómu f=(x^4)-6(x^3)+2(x^2)-x+1 so stredom s=-1.
b) Pomocou Newtonovho vzorca nájdite polynóm f najnižšieho stupňa, pre ktorý platí: f(-2)=-4, f(-1)=-7, f(1)=-1, f(2)=8.
c) Pomocou Lagrangeovho vzorca nájdite polynóm f najnižšieho stupňa, pre ktorý platí: f(-1)=2, f(1)=2, f(2)=5.
II) Príklady na jednoduché a konečné rozšírenia...
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x, Df je derivácia polynómu f.
29.04.2009
I) a) Pre ktoré celé čísla n je polynóm 2x^2+nx-7 reducibilný v Q[x]?
b) Pre ktoré celé čísla a medzi 0 a 250 má rovnica 30(x^n)=a pre vhodné n>1 racionálny koreň?
II) a) Dokážte, že ak c je k-násobný koreň f(x) z F[x] (F je pole charakteristiky nekonečno). Potom c je (k-1)-násobný koreň derivácie f(x). Kedy sa dá toto tvrdenie obrátiť?
b) Nájdite násobné korene polynómu f(x)=(x^6)-6(x^4)-4(x^3)+9(x^2)+12x+4 zo Z[x].
c) Dokážte, že f(x)=1+x/(1!)+(x^2)/(2!)+...+(x^n)/(n!) z R[x] nemá násobné korene.
d) Dokážte, že ak (f,Df)=1, potom f má len jednoduché korene.
e) Nájdite polynóm, ktorý má rovnaké korene ako polynóm z IIb), ale všetky jednoduché.
III) Dokážte, že polynóm f(x)=(x^2)+2x+2 je ireducibilný.
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x, Df je derivácia polynómu f.
22.04.2009
I) Dokážte, že v R[x] platí x^2+x+1 delí x^(3m)+x^(3n+1)+x^(3p+2).
II) Polynóm f(x)=x^3+ax^2+bx-15 z R[x] má koreň 2+i. Ako vyzerajú ostatné korene a čísla a a b?
III) Nájdite racionálne korene polynómu f(x)=x^4+3/2x^3-3x^2-3x+2 z Q[x].
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x.
15.04.2009
I) Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov (x^m)-1 a (x^n)-1 (m,n sú prirodzené čísla).
II) Dokážte: Nech a a b sú nesúdeliteľné. Potom a|c a b|c implikuje a.b|c.
III) Nech p(x) je polynóm aspoň prvého stupňa nad poľom F. Dokážte, že
a) p(x) je ireducibilný nad F práve vtedy, keď pre každý polynóm f(x) nad F platí: p(x)|f(x) alebo p(x) a f(x) sú nesúdeliteľné.
b) p(x) je ireducibilný nad F práve vtedy, keď pre ľubovoľné polynómy f(x),g(x) nad F platí: p(x)|f(x).g(x) práve vtedy, keď p(x)|f(x) alebo p(x)|g(x) v F.
IV) Dokážte, že (x^4)+2 je ireducibilný nad Z5.
V) Rozložte polynóm
a) (x^4)+(x^3)+x+1 nad Z3,
b) (x^4)+(x^2)-6 nad Q, R a C.
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x.
08.04.2009
I) Dané je Z[V5]={a+b.V5}. Označme N(a+b.V5)=(a^2)-5(b^2).
a) Ukážte, že Z[V5] je obor integrity.
b) N(X.Y)=N(X).N(Y), kde X,Y sú z Z[V5].
c) Ak X=a+b.V5 je deliteľ 1, tak N(X)=1 alebo N(X)=-1.
d) Ukážte, že 4-V5 a 4+V5 sú ireducibilné.
e) Číslo 5 je reducibilné v Z[V5].
f) Z[V5] nie je okruh s jednoznačným rozkladom.
II) Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov f a g a jeho vyjadrenie ako lineárnu kombináciu polynómov f a g.
a) f(x)=(x^4)-3(x^2)-x+1; g(x)=(x^3)+2(x^2)-1 v R[x]
b) f(x)=2(x^3)+(x^2)+2; g(x)=4(x^3)+3(x^2)+4x+3 v Z5[x]
III) Nájdite najmenší spoločný násobok polynómov f a g z II).
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x, V5 je odmocnina z 5.
01.04.2009
I) a) Polynóm 2. a 3. stupňa nad poľom F je ireducibilný práve vtedy, keď nemá koreň.
b) Nájdite všetky ireducibilné 2. a 3. stupňa nad Z2. Koľko je takých polynómov stupňa 6?
c) Zistite nad ktorými poliami je polynóm (x^2)+1 reducibilný a nad ktorými je ireducibilný.
II) Pomocou Euklidovho algoritmu vypočítajte najväčší spoločný deliteľ (NSD)
a) 10831 a 4253
b) 4752 a 560
Vyjadrite NSD ako lineárnu kombináciu daných prvkov.
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x, značka | znamená "delí", V5 je odmocnina z 5.
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
25.03.2009
I) Nech F je pole, f(x), g(x), h(x), k(x), l(x) sú z F[x]. Ak h(x)|f(x) a h(x)|g(x), potom h(x)|{f(x).k(x) + g(x).l(x)}.
II) Vydeľte so zvyškom v C[x]:
a) (2(x^4)-3(x^3)+4(x^2)-5x+6):((x^2)-3x+1)
b)(i(x^4)-2(x^2)-ix+1):(x-i+1)
III) Aké podmienky musia spĺňať komplexné čísla p,q,m, aby bol polynóm x^4+p(x^2)+q deliteľný (x^2)+mx+1?
IV) Dokážte, že ak m|n, tak ((x^m)-1)|((x^n)-1), kde m,n sú prirodzené čísla.
V) Nájdite príklad 8-prvkového poľa.
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x, značka | znamená "delí".
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
Čo sa preberalo na cvičení
18.03.2009
I) Rozdiely A<x> a A[x] :
a) Koľko prvkov má Z2<x> a Z2[x]? Koľko prvkov má Zn<x>?
b) Daný je polynóm f(x) = (x^2) + 2x + 1 zo Z3[x]. Nájdite iný polynóm g v Z3[x], aby sa f a g rovnali ako funkcie.
c) Nájdite pole F tak, aby F<x> nebol obor integrity.
II) Vynásobte polynómy f, g zo Z7[x], kde f(x) = 3(x^3) + 5x + 3 a g(x) = 4(x^3) + 6x + 3
III) Pomocou Hornerovej schémy vypočítajte hodnotu polynómu f(x) = 2(x^5) - 3(x^4) + 2(x^2) + 4x + 1 zo Z5[x] v bode 2.
POZN.: x^i označuje i-tu mocninu x
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
11.03.2009
I) Nech A a B sú okruhy. Dokážte, že zobrazenia
a) p: AxB->A pričom (a,b)p = a
b) i: A->AxB pričom (a)i = (a,0)
II) Za akých okolností je fd: D(x)->D pričom (x)fd = (d)fd homomorfizmus? Predpokladáme, že D je okruh a d je z D.
III) Dokážte, že jadro homomorfizmu je ideál.
IV) Dokážte, že pole Q(V7) nie je izomorfné s poľom Q(V11) , kde V7 (V11) je odmocnina zo 7 (11).
V) Daný je surjektívny homomorfizmus okruhov h: A->B. Ak A je okruh hlavných ideálov, tak aj B je okruh hlavných ideálov. Dokážte.
PODNET NA DISKUSIU: Aké vlastnosti ideálu I spôsobia, že faktorový okruh A|I je komutatívny, resp. okruh s 1?
04.03.2009
I) Nájdite všetky ideály telesa.
II) Nájdite podokruh, ktorý nie je ideál.
III) Nájdite všetky ideály okruhu
a) Z
b) Zn.
IV) Nech M a N sú ideály okruhu A. Ukážte, že aj
a) M + N= { m + n, m je z M, n je z N },
b) M prienik N
sú ideály okruhu A.
V) Nech A, B, kde A je podmnožina B, sú ideály okruhu K.
a) Ukážte, že B|A = {b + A, b je z B} je ideál okruhu K|A.
b) Dokážte, že každý ideál okruhu K|A je tvaru B|A pre nejaký ideál B.
25.02.2009
I) V okruhu (Q, +, .) nájdite najmenší podokruh obsahujúci
a) 1
b) 1/2.
II) Zostrojte okruh nekonečnej charakteristiky obsahujúci iba prvky
konečných rádov.
III) Overte, že priamy súčet okruhov ( t.j. prvky priameho súčinu, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov) je podokruh
priameho súčinu okruhov.
18.02.2009
I) Dokážte, že množina automorfizmov spolu so skladaním zobrazení tvorí grupu.
Nájdite Aut(Q).
II) Dokážte, že Q(V2)={a+b.V2; a, b z Q}, kde V2 je druhá odmocnina z 2, je pole.
Nájdite Aut(Q(V2)).
III) a) Nech A, B, C, D sú okruhy. Dokážte, že ak A je izomorfné s C a B je izomorfné s D, tak AxB je izomorfné s CxD.
b) Nech A, B, C, D sú okruhy. Dokážte, že ak A je podokruh C a B je podokruh D, tak AxB je podokruh CxD.
c) Nájdite podgrupu (Z2xZ4, +), ktorá nie je podokruh (Z2xZ4, +, .).
11.02.2009
I) Daná je komutatívna grupa (A, *). Uvažujme množinu, ktorá obsahuje všetky homomorfizmy z A do A. Ozn. End(A).
Ktoré z vlastností poľa spĺňa (End(A), +, kompozícia)?
II) Uvažujme množinu matíc (a_ij) typu 2x2, kde a_11 = a_22 = x a_12 = -a_21 = y spolu s operáciami sčitovanie a násobenie matíc.
Ktoré z vlastností poľa spĺňa? Dokážte, že tento okruh je izomorfný s (C, +, .).