Cvičenia z Algebry

Domáce úlohy

Môžete odovzdať do stredy 13.05.2009 mailom:

Ak u je algebraický nad poľom F, tak (u^2)+1 je tiež algebraický. (1 bod)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 06.05.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 29.04.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

11) a) Nájdite polynóm 2. stupňa zo Zn[x], ktorý má v Zn aspoň 3 korene. (1/2 boda)
b) Pre ktoré racionálne čísla x je 3(x^2)-7x celé číslo? (1/2 boda)
c) Označme a, b, c korene polynómu 2(x^3)-5(x^2)+3x+4. Nájdite polynóm, ktorého koreňmi sú čísla
i) a-3, b-3, c-3 ;
ii) 1/a, 1/b, 1/c . (1/2 boda)
d) Riešte úlohu c) pre všeobecný polynóm f(x). (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 22.04.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

10) a) Rozložte polynóm (x^4)+(x^3)+x+2 nad Z3. (1/2 boda)
b) Dokážte, že F[x] (F je pole) má nekonečne veľa ireducibilných polynómov. (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 15.04.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

9) a) Nájdite najväčší spoločný deliteľ polynómov (x^m)-1 a (x^n)-1 (m,n sú prirodzené čísla). (1/2 boda)
b) Nájdite polynóm najnižšieho stupňa, ktorý dáva zvyšok 2x po delení polynómom (x-1)^2 a dáva zvyšok 3x po delení polynómom (x-2)^3. (1/2 boda)
c) Nájdite zvyšok polynómu (cos a + x.sin a)^n po delení polynómom (x^2)+1. (1/2 boda)
d) Dané sú polynómy f(x), g(x) stupňa aspoň prvého nad poľom F. Predpokladajme, že ich najväčší spoločný deliteľ má tiež stupeň aspoň 1. Dokážte, že existujú polynómy u(x), v(x) nad F také, že f(x).u(x)=g(x).v(x), pričom stupeň u je menší než stupeň g a stupeň v je menší než stupeň f. (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 08.04.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

8) a) Dokážte, že Z[x] nie je okruh hlavných ideálov. (1/2 boda)
b) Ktoré prvky sú v Zn invertibilné (n je ľubovoľné prirodzené číslo)? (nápoveda: 1=a.m+b.n). (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 01.04.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

7) a) Dokážte alebo vyvráťte: Podokruh okruhu hlavných ideálov je okruh hlavných ideálov. (1/2 boda)
b) Nájdite 9-prvkové pole (aj dokážte, že to pole je). (1/2 boda)
c) Nech F je pole, f(x), g(x), h(x) sú z F[x]. Dokážte:
(i) g(x)-h(x)| {f(g(x)) - f(h(x))}
(ii) ak f(g(x))=g(f(x)),tak f(x)-g(x)|{f(f(x))-g(g(x))}. (1/2 boda)
d) Nájdite všetky okruhy Zn, nad ktorými polynóm x+2 delí polynóm (x^5)-10x+12. (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 25.03.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

6) a) Nech deg(f) označuje stupeň polynómu f. Dokážte, že deg(f+g) je nanajvýš max(deg(f),deg(g)), nájdite príklad pre ktorý je deg(f+g) ostro menší než max(deg(f),deg(g)). Ďalej dokážte, že deg(f.g) = deg(f)+deg(g) (1/2 boda)
b) Nájdite polynóm f 3. stupňa, pre ktorý f(0) = f(2) = 0, f(1) = f(3) = 1 v Z[x] a v Z5[x]. (2/5 boda)
c) Pomocou Hornerovej schémy vypočítajte hodnotu polynómu f(x) = 16(x^7) + 12(x^5) + 9(x^4) + 11(x^3) + 2(x^2) + 14 zo Z17[x] v bode c=3. (x^n označuje n-tú mocninu x) (1/10 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 18.03.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

5) a) Nájdite všetky ideály okruhu (ZxZ, +, .). (1/2 boda)
b) Nájdite všetky ideály a homomorfné obrazy okruhu (Z23, +, .) a (Z24, +, .). (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 11.03.2009 (úlohy na papieri už neakceptujem):

4) a) Daný je komutatívny okruh K a jeho dva ideály B, C, pre ktoré platí, že B + C = K a B prienik C je {0}.
Dokážte, že B, C sú okruhy a že K je izomorfný s B x C. (1/2 boda)
b) Uvažujme okruhy postupností so spočítavaním a násobením po členoch. Označme V množinu všetkých postupností, O ohraničených, K konvergentných a N postupností idúcich k 0. Urobte rozbor (overte plus výsledná tabuľka), ktorá množina (z V, O, K, N) je podokruhom resp. ideálom ktorej množiny (z V, O, K, N). (1 bod)

3) Nájdite podokruh (R, +, .) generovaný odmocninou z 2. (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 04.03.2009:

2) Nájdite grupu automorfizmov okruhu
a) (R, +, .) (1/2 boda)
b) (C, +, .) (1/2 boda)

Odovzdať v zošite do cvičenia v stredu 18.02.2009:

1) Zistite, ktoré z vlastností poľa spĺňa:
a) (Z2xZ3, +, .) (1/2 boda)
b) (P(X), symetrický rozdiel množín, prienik množín) (1/2 boda)
c) (Mn(F), +, .) (1/2 boda)

Dokážte, že (Z2xZ3, +, .) a (Z6, +, .) sú izomorfné okruhy. (1/2 boda)