Definície
29.04.2009
Algebraický prvok, transcendentný prvok, jednoduché algebraické a transcendentné rozšírenia,
k-násobné rozšírenie, konečné rozšírenie.
29.04.2009
Koreň
c z
F polynómu
f(x) z
F[x] nazývame
k-násobný, ak
(x-c)^k delí
f(x), ale
(x-c)^(k+1) nedelí
f(x).
22.04.2009
Rozklad polynómu nad poľom
F na súčin ireducibilných polynómov nazývame
kanonický rozklad.
Ak má každý polynóm nad poľom
F koreň, tak pole
F nazývame
algebraicky uzavreté.
15.04.2009
Dva prvky nazývame
nesúdeliteľné, ak ich najväčší spoločný deliteľ je 1.
08.04.2009
Najväčší spoločný deliteľ dvoch polynómov
f(x), g(x) z
F[x] je polynóm
d(x) z
F[x], pre ktorý platí
d(x)|f(x) a aj
d(x)|g(x). Pričom ak existuje iný polynóm
c(x) z
F[x], ktorý delí aj
f(x) aj
g(x), tak
c(x)|d(x).
Najmenší spoločný násobok dvoch polynómov
f(x), g(x) z
F[x] je polynóm
n(x) z
F[x], pre ktorý platí
f(x)|n(x) a aj
g(x)|n(x). Pričom ak existuje iný polynóm
m(x) z
F[x], ktorý delia
f(x) aj
g(x), tak
n(x)|m(x).
01.04.2009
Polynómy
f(x), g(x) nazývame
asociované, ak
f(x)|g(x) a aj
g(x)|f(x).
Polynóm
f(x) z
F[x], kde
F je pole, nazývame
ireducibilný nad F, ak deg(
f)>0 a
f(x) má len triviálne delitele (t. j. iba delitele stupňa 1 a tie čo sú s
f asociované).
Prvok nazývame
deliteľ 1, ak je asociovaný s 1.
Prvok nazývame
invertibilný, ak k nemu v danom okruhu existuje inverzný.
Najväčší spoločný deliteľ dvoch celých čísel
x, y je celé číslo
d, pre ktoré platí
d|x a aj
d|y. Pričom ak existuje iné celé číslo
c, ktoré delí aj
x aj
y, tak
c|d.
Prvok
a z okruhu
A nazývame koreň polynómu
f(x) z
A[x], ak
f(a)=0.
25.03.2009
Nech
F je pole a
f(
x),
g(
x) je z
F[
x].
Polynóm
f(
x)
delí polynóm
g(
x), ak existuje
h(
x) z
F[
x], že
g(x) = f(x).h(x). Označenie:
f(x)|
g(x).
VETA (o delení so zvyškom): Nech
F je pole a
f(x), g(x) je z
F[x],
g(x) rôzne od 0.
Potom existujú (jediné) polynómy
q(x), r(x) z
F[x] také, že
f(x)= g(x).q(x)+r(x),
pričom deg(
r) je ostro menší ako deg(
g).
18.03.2009
Polynómy a polynomické funkcie
11.03.2009
Ideál
I okruhu
A je
PRVOIDEÁL, ak pre všetky
a,
b z
A také, že
a.b je z
I, platí
a je z
I alebo
b je z
I.
Ideál
I okruhu
A je
MAXIMÁLNY, ak neexistuje väčší vlastný ideál okruhu
A.
Ideál
I okruhu
A je
HLAVNÝ, ak existuje prvok
x okruhu
A, ktorý ho generuje.
(Pre komutatívny okruh A s 1 to znamená, že
I = x.A = {
x.a,
a je z
A}.)
Komutatívny okruh
A nazývame
OKRUH HLAVNÝCH IDEÁLOV, ak každý ideál okruhu
A je hlavný.
04.03.2009
Množina
I je
IDEÁL okruhu
A, ak
i)
I je neprázdna množina,
ii)
I je podmnožina
A,
iii)
I je uzavretá na rozdiel (t.j. pre
i, j z
I platí, že
i-j je tiež z
I),
iv)
I je uzavretá na súčin s prvkom z A (t.j. pre
i z
I,
a z
A platí, že
a.i aj
i.a je z
I).
FAKTOROVÝ OKRUH je okruh (
A/I, * , #), kde
I je ideál okruhu (
A, +, .),
A/I je faktorová grupa aditívnej grupy
A podľa podgrupy
I a operácie
*, # sú definované takto:
(
a + I)*(
b + I) = (
a+b) +
I, (
a + I)#(
b + I) = (
a.b) +
I.
25.02.2009
RÁD prvku
x je najmenšie prirodzené číslo
n (ak existuje) také, že
n.x = 0. Ak neexistuje, rád prvku je nekonečno.
CHARAKTERISTIKA OKRUHU A je najmenšie prirodzené číslo
n (ak existuje) také, že
n.x = 0 pre každý prvok
x okruhu
A. Ak neexistuje, charakteristika okruhu A je nekonečno.
18.02.2009
Množina
X je
PODOKRUH okruhu
A, ak je neprázdna a je uzavretá na rozdiel a súčin.
Podokruh, ktorý je teleso (pole), nazývame
PODTELESO (PODPOLE).
11.02.2009
OKRUH je trojica (
A, +, .), kde
A je neprázdna množina, + a . sú binárne operácie a platí:
i) (
A, +) je komutatívna grupa
ii) . je asociatívna operácia
iii) pre
a,b,c z
A platia distributívne zákony:
a.(b+c)=a.b+a.c,
(b+c).a=b.a+c.a
KOMUTATÍVNY OKRUH je okruh, pričom operácia . je komutatívna.
OKRUH S 1 je okruh, pričom operácia . má neutrálny prvok.
OBOR INTEGRITY je komutatívny okruh s 1 bez deliteľov 0 (0 je neutrálny prvok vzhľadom na operáciu +). T. j. z
a.b=0 vyplýva, že
a=0 alebo
b=0.
TELESO je okruh, pričom operácia . má neutrálny prvok a ku každému nenulovému prvku existuje inverzný. (A teda (
A-{0}, .) je grupa.)
POLE je komutatívne teleso.
Okruhy (
A,+,.) a (
B,*,#) sú
IZOMORFNÉ, ak existuje bijektívne zobrazenie
f: A->B, ktoré zachováva operácie + a . (teda (
a+b)
f=
af*bf, (
a.b)
f=
af#bf).